एक परिमेय फलन एक समीकरण है जो y = N(x)/D(x) का रूप लेता है जहां N और D बहुपद हैं। एक हाथ से एक सटीक ग्राफ को स्केच करने का प्रयास बुनियादी बीजगणित से लेकर डिफरेंशियल कैलकुलस तक के कई सबसे महत्वपूर्ण हाई स्कूल गणित विषयों की व्यापक समीक्षा हो सकती है। निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें: y = (2 x 2 - 6 x + 5)/(4 x + 2)।
कदम
चरण 1. y अवरोधन ज्ञात कीजिए।
बस x = 0 सेट करें। y = 5/2 छोड़कर, स्थिर शर्तों को छोड़कर सब कुछ गायब हो जाता है। इसे निर्देशांक युग्म के रूप में व्यक्त करना, (0, 5/2) आलेख पर एक बिंदु है। उस बिंदु को ग्राफ़ करें।
चरण 2. क्षैतिज स्पर्शोन्मुख का पता लगाएं।
x के बड़े निरपेक्ष मानों के लिए y के व्यवहार को निर्धारित करने के लिए हर को अंश में विभाजित करें। इस उदाहरण में, विभाजन दर्शाता है कि y = (1/2) x - (7/4) + 17/(8 x + 4)। x के बड़े धनात्मक या ऋणात्मक मानों के लिए, १७/(८ x + ४) शून्य के करीब पहुंचता है, और ग्राफ़ रेखा y = (1/2) x - (7/4) का अनुमान लगाता है। धराशायी या हल्की खींची गई रेखा का उपयोग करके, इस रेखा को रेखांकन करें।
- यदि अंश की डिग्री हर की डिग्री से कम है, तो कोई विभाजन नहीं करना है, और स्पर्शोन्मुख y = 0 है।
- यदि deg(N) = deg(D), स्पर्शोन्मुख गुणांकों के अनुपात में एक क्षैतिज रेखा है।
- यदि डिग्री (एन) = डिग्री (डी) + 1 है, तो अनंतस्पर्शी एक रेखा है जिसका ढलान प्रमुख गुणांक का अनुपात है।
- यदि deg(N) > deg(D) + 1, तो |. के बड़े मानों के लिए x |, y द्विघात, घन, या उच्च डिग्री बहुपद के रूप में शीघ्र ही धनात्मक या ऋणात्मक अनंत में चला जाता है। इस मामले में, विभाजन के भागफल को सटीक रूप से रेखांकन करना शायद सार्थक नहीं है।
चरण 3. शून्य ज्ञात कीजिए।
एक परिमेय फलन का एक शून्य होता है जब उसका अंश शून्य होता है, इसलिए N(x) = 0 सेट करें। उदाहरण में, 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. इस द्विघात का विवेचक b. है 2 - 4 एसी = 62 - 4*2*5 = 36 - 40 = -4। चूँकि विवेचक ऋणात्मक है, N(x) और फलस्वरूप f(x) का कोई वास्तविक मूल नहीं है। ग्राफ कभी भी x -अक्ष को पार नहीं करता है। यदि कोई शून्य पाया जाता है, तो उन बिंदुओं को ग्राफ़ में जोड़ें।
चरण 4. उर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी ज्ञात कीजिए।
एक लंबवत स्पर्शोन्मुख तब होता है जब हर शून्य होता है। 4 x + 2 = 0 सेट करने से ऊर्ध्वाधर रेखा x = -1/2 प्राप्त होती है। प्रत्येक लंबवत स्पर्शोन्मुख को एक प्रकाश या धराशायी रेखा के साथ ग्राफ़ करें। यदि x का कुछ मान N(x) = 0 और D(x) = 0 दोनों को बनाता है, तो वहां एक लंबवत अनंतस्पर्शी हो भी सकता है और नहीं भी। यह दुर्लभ है, लेकिन ऐसा होने पर इससे निपटने के तरीके देखें।
चरण 5. चरण 2 में शेष भाग को देखें।
यह सकारात्मक, नकारात्मक या शून्य कब होता है? उदाहरण में, शेषफल का अंश 17 है जो सदैव धनात्मक होता है। हर, 4 x + 2, ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी के दाईं ओर धनात्मक है और बाईं ओर ऋणात्मक है। इसका अर्थ यह है कि ग्राफ x के बड़े धनात्मक मानों के लिए ऊपर से रैखिक अनंतस्पर्शी तक पहुंचता है और x के बड़े ऋणात्मक मानों के लिए नीचे से। चूँकि 17/(8 x + 4) कभी भी शून्य नहीं हो सकता है, यह ग्राफ कभी भी रेखा y = (1/2) x - (7/4) को नहीं काटता है। ग्राफ़ में अभी कुछ भी न जोड़ें, लेकिन बाद के लिए इन निष्कर्षों पर ध्यान दें।
चरण 6. स्थानीय एक्स्ट्रेमा का पता लगाएं।
जब भी N'(x)D(x)- N(x)D'(x) = 0 एक स्थानीय चरम हो सकता है। उदाहरण में, N'(x) = 4 x - 6 और D'(x) = 4 एन'(एक्स)डी(एक्स) - एन(एक्स)डी'(एक्स) = (4 एक्स - 6)(4 एक्स + 2) - (2 एक्स 2 - ६ x + ५)*४ = ०. पदों का विस्तार, संयोजन, और ४ से भाग देने पर x 2 + x - 4 = 0. द्विघात सूत्र x = 3/2 और x = -5/2 के निकट मूल को दर्शाता है। (ये सटीक मानों से लगभग 0.06 भिन्न हैं, लेकिन हमारा ग्राफ़ विस्तार के उस स्तर के बारे में चिंता करने के लिए पर्याप्त सटीक नहीं होगा। एक सभ्य तर्कसंगत सन्निकटन चुनने से अगला चरण आसान हो जाता है।)
चरण 7. प्रत्येक स्थानीय चरम का y-मान ज्ञात कीजिए।
संगत y-मानों को खोजने के लिए पिछले चरण से x -मानों को मूल परिमेय फलन में वापस प्लग करें। उदाहरण में, f(3/2) = 1/16 और f(-5/2) = -65/16। इन बिंदुओं (3/2, 1/16) और (-5/2, -65/16) को आलेख में जोड़ें। चूंकि हमने पिछले चरण में अनुमान लगाया था, ये सटीक मिनीमा और मैक्सिमा नहीं हैं, लेकिन शायद करीब हैं। (हम जानते हैं (3/2, 1/16) स्थानीय न्यूनतम के बहुत करीब है। चरण 3 से, हम जानते हैं कि y हमेशा सकारात्मक होता है जब x> -1/2 और हमें 1/16 जितना छोटा मान मिला, तो कम से कम इस मामले में, त्रुटि शायद रेखा की मोटाई से कम है।)
चरण 8. बिंदुओं को कनेक्ट करें और ज्ञात बिंदुओं से ग्राफ़ को स्पर्शोन्मुख तक सुचारू रूप से विस्तारित करें ताकि उन्हें सही दिशा से प्राप्त किया जा सके।
चरण 3 में पहले से पाए गए बिंदुओं को छोड़कर x -अक्ष को पार न करने का ध्यान रखें। चरण 5 में पहले से पाए गए बिंदुओं को छोड़कर क्षैतिज या रैखिक स्पर्शोन्मुख को पार न करें। पिछले चरण में पाया गया चरम।
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टिप्स
- इनमें से कुछ चरणों में एक उच्च डिग्री बहुपद को हल करना शामिल हो सकता है। यदि आप गुणनखंडन, सूत्रों या अन्य माध्यमों से सटीक समाधान नहीं खोज सकते हैं, तो न्यूटन की विधि जैसी संख्यात्मक तकनीकों का उपयोग करके समाधानों का अनुमान लगाएं।
- यदि आप क्रम में चरणों का पालन करते हैं, तो आमतौर पर यह निर्धारित करने के लिए दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण या समान संभावित जटिल तरीकों का उपयोग करना आवश्यक नहीं है कि महत्वपूर्ण मान स्थानीय मैक्सिमा, स्थानीय मिनीमा, या न ही हैं। पिछले चरणों की जानकारी और पहले थोड़ा तर्क का उपयोग करने का प्रयास करें।
- यदि आप इसे केवल पूर्व-कलन विधियों के साथ करने का प्रयास कर रहे हैं, तो आप स्पर्शोन्मुख के प्रत्येक जोड़े के बीच कई अतिरिक्त (x, y) क्रमित जोड़े की गणना करके स्थानीय एक्स्ट्रेमा को खोजने के चरणों को बदल सकते हैं। वैकल्पिक रूप से, यदि आपको परवाह नहीं है कि यह क्यों काम करता है, तो कोई कारण नहीं है कि एक पूर्व-कलन छात्र एक बहुपद का व्युत्पन्न नहीं ले सकता है और N'(x)D(x) - N(x)D'(x) = को हल नहीं कर सकता है। 0.
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दुर्लभ मामलों में, अंश और हर में एक सामान्य अचर कारक हो सकता है। यदि आप चरणों का पालन कर रहे हैं, तो यह एक ही स्थान पर एक शून्य और एक लंबवत स्पर्शोन्मुख के रूप में दिखाई देगा। यह असंभव है और वास्तव में जो होता है वह निम्न में से एक है:
- N(x) में शून्य की बहुलता D(x) में शून्य से अधिक है। f (x) का ग्राफ इस बिंदु पर शून्य के करीब पहुंचता है, लेकिन वहां अपरिभाषित है। इसे बिंदु के चारों ओर एक खुले वृत्त के साथ इंगित करें।
- N(x) में शून्य और D(x) में शून्य की समान बहुलता है। ग्राफ़ x के इस मान के लिए कुछ गैर-शून्य बिंदु तक पहुंचता है, लेकिन वहां अपरिभाषित है। इसे फिर से एक खुले वृत्त से इंगित करें।
- N(x) में शून्य की बहुलता D(x) में शून्य से कम है। यहाँ एक लंबवत स्पर्शोन्मुख है।
